... masz przeżywać życie, a nie je opisywać.
W dalszych naszych rozważaniach zdania w sensie logicznym nazywać będziemy po prostu zdaniami. Dla uniknięcia rozwlekłości przykładów niejednokrotnie jednak będziemy podawać wypowiedzi niezupełne jako przykłady zdań w sensie logicznym, zakładając, że w danym przypadku odpowiednia konkretyzacja tych wypowiedzi jest domyślna. § 5. Funkcje zdaniowe Charakter językowy zdaniowej wypowiedzi niezupełnej uwidoczni się szczególnie wyraźnie, jeśli nadamy jej postać funkcji zdaniowej3. W logice nazywa się funkcją zdaniową (formułą zdaniową) takie wyrażenie opisowe, które zawiera zmienne (x, y, z, S, M, P itd). Wyrażenie takie po dokonaniu odpowiednich podstawień na miejsce zmiennych staje się zdaniem w sensie logicznym. Funkcją zdaniową jest np. wyrażenie „Każde S jest P", gdyż jeśli dokonamy odpowiednich podstawień za zmienne S oraz P (w tym przypadku podstawiając jakieś nazwy generalne), to z wyrażenia tego powstanie zdanie: prawdziwe, np. „Każdy notariusz jest prawnikiem", albo fałszywe, np. „Każdy student jest piłkarzem". Podobnie jest funkcją zdaniową wyrażenie „Jeżeli p, to q" - z tym, że nie jest to funkcja zdaniowa ze zmiennymi nazwowymi, jak w poprzednim przypadku, lecz funkcja zdaniowa ze zmiennymi zdaniowymi. Na miejsce zmiennych p oraz q należy bowiem w tym przypadku podstawiać nie jakieś nazwy, lecz zdania, aby otrzymać składne zdanie, np. „Jeśli Jan śpi, to Piotr czuwa" (domyślając się przy tym, iż chodzi np. o godz. 9.00 dnia 4 VII 1993 r.). Podstawiając na miejsce zmiennych nazwy, otrzymalibyśmy w tym przypadku wypowiedź nieskładną, np. „Jeśli Jan, to Piotr". Funkcja zdaniowa sama przez się nie ma określonej wartości logicznej: zazwyczaj w zależności od tego, jakich dokonamy konkretnych podstawień na miejsce zmiennych, otrzymywać będziemy z danej funkcji zdania prawdziwe albo fałszywe. Niektóre jednak funkcje zdaniowe mają tę szczególną właściwość, że przy wszelkich odpowiednio dokonywanych podstawieniach powstawać z nich będą tylko zdania prawdziwe, np. „Jeżeli x jest przedmiotem żółtym, to x jest przedmiotem kolorowym" - nie może bowiem być tak, by jakiś przedmiot był żółty i niekolorowy, ze względu na sam sens tych słów w języku polskim. W licealnych podręcznikach algebry używa się na określenie funkcji zdaniowej wyrażenia „forma zdaniowa" - dla odróżnienia od „funkcji" jako szczególnego rodzaju relacji zachodzącej między elementami dwóch zbiorów. Inne natomiast funkcje zdaniowe zawsze po podstawieniu zmieniają się w zdanie fałszywe, np.: „Jest tak, że p, i zarazem nie jest tak, że p" - jakiekolwiek bowiem zdanie wpiszemy na miejsce zmiennej p, to w każdym przypadku otrzymamy z tej funkcji zdanie fałszywe, np. „Jest tak, że Jan teraz śpi, i zarazem nie jest tak, że Jan teraz śpi. Sama przez się funkcja zdaniowa „Jeśli x jest żółte, to x jest kolorowe" nie jest ani prawdziwa, ani fałszywa. Natomiast prawdą jest, że dla wszelkich podstawień nazw na miejsce zmiennej x w tej funkcji powstawać będą jedynie zdania prawdziwe. Dla oznaczenia tej właściwości pewnej funkcji zdaniowej ze zmiennymi nazwowymi używa się w logice znaku zwanego kwantyfikatorem ogólnym, odnoszonym do zmiennej czy zmiennych występujących w danej funkcji. Kwantyfikator ogólny odnoszony do zmiennej x zapisuje się w postaci II x albo /\x,(x). Prawdą jest więc, że: ITx: Jeśli x jest żółte, to x jest kolorowe, natomiast nie jest prawdą, że: ITx: Jeśli x jest kolorowe, to x jest żółte, bo może być przecież tak, że pewien przedmiot jest kolorowy, a nie jest żółty. W takim przypadku można byłoby orzec tylko, że dla niektórych x jest tak, że jeśli x jest kolorowe, to x jest żółte. Dla oznaczenia, że dana funkcja zdaniowa przy niektórych przynajmniej podstawieniach nazw na miejsce danej zmiennej zmienia się w zdanie prawdziwe, używa się w logice znaku zwanego kwantyfikatorem szczegółowym w odniesieniu do danej zmiennej czy zmiennych. Kwantyfikator szczegółowy odnoszony do zmiennej x zapisuje się w postaci Lx albo \/x, ąx. Nie jest prawdą, że wszystko, co kolorowe, jest żółte, ale prawdą jest, że Lx: x jest kolorowe i x jest żółte. Zatem, choć sama funkcja zdaniowa nie jest wypowiedzią o określonej wartości logicznej, powstawać z niej mogą zdania prawdziwe czy też zdania fałszywe, i to w dwojaki sposób: 1) przez konkretyzację, to znaczy podstawienie odpowiednich wyrażeń na miejsce wszystkich występujących w danej funkcji zmiennych, 2) przez kwantyfikację, to znaczy przez poprzedzenie tej funkcji kwantyfikatorem ogólnym czy szczegółowym, w odniesieniu do wszystkich występujących w danej funkcji zmiennych nazwowych4. Nie wystarczy więc w tym przypadku, że kwantyfikatorem zwiążemy tylko część zmiennych: nie jest np. zdaniem wyrażenie: „Ix, y: x kocha y w chwili z" - w którym zmienna z pozostała zmienną wolną, nie związaną przez kwantyfikator. Ze względu na ograniczone ramy wykładu logiki dla prawników nie będziemy szerzej omawiać reguł posługiwania się kwantyfikatorami i związanych z tym twierdzeń (patrz Aneks). Jako zdanie traktuje się też niekiedy taką funkcję logiczną ze zmiennymi zdaniowymi, która przy wszelkich wartościach zdań podstawianych za zmienne staje się zdaniem prawdziwym (patrz rozdz. XIV § 3). Kwantyfikatory używane są w logice w odniesieniu do zmiennych nazwowych, na miejsce których wpisywane być mają nazwy przedmiotów z określonej klasy, wyznaczonej przez zapis pod znakiem kwanty fikator a, wskazujący np. iż chodzi o wszelkie x czy przynajmniej niektóre x z klasy A